An example of examples: Series and limits (in German)

As an example of how I would explain a concept in terms of examples and counter-examples let me cut and paste a text that I wrote for a mailing list which explains the notion of series and limits to ninth grader. That mailing list is in German so is this text. Sorry.

Ich versuche es mal mit einer Prosabeschreibung. Also erstmal, was ist eine Folge? Einfach gesagt ist das ein Liste von Zahlen, die nicht aufhoert, also zB

1, 2, 3, 4, 5 etc.

oder auch

1, 1, 1, 1, 1, 1 etc.

oder auch

1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, etc

oder auch

3, 3.1, 3.14, 3.141, 3.1415, 3.14159, 3.141592, etc

oder auch

1, -1, 1, -1, 1, -1, etc

Vornehm gesagt ist eine Folge nix weiter als eine Funktion von den natuerlichen Zahlen in eine (Zahlen)-Menge Deiner Wahl. D.h. fuer jede natuerliche Zahl n (die Position in der Folge) gibt es eine Zahl a_n. Im ersten Beispiel ist

a_n = n

im zweiten Beispiel

a_n = 1

im dritten Beispiel

a_n = 1/n

und im vierten Beispiel ist a_n die Zahl, die man erhaelt, wenn man von pi die ersten n Dezimalstellen nimmt. Die fuenfte Folge koennen wir schreiben als

          n
a_n = (-1) 

(minus eins hoch n)

Soweit alles klar?

Von einer Folge kann es nun sein, dass sie gegen einen Grenzwert a kovergiert (sie "diesen Grenzwert hat"). Grob gesagt soll das heissen, dass sie 'auf lange Sicht' der Zahl a immer naeher kommt. Das muss man nun etwas formalisieren. Eine moegliche Definition ist, dass fuer alle offenen Intervalle, die a enthalten, hoechstens endlich viele Glieder der Folge nicht auch schon in diesem Intervall liegen, egal wie klein das offene Intervall ist (wenn es kleiner wird, liegen halt mehr Folgenglieder nicht drin, aber es bleiben immmer endlich viele).

Nehmen wir zB das dritte Beispiel a_n = 1/n . Davon ist offenbar 0 der Grenzwert. Wir koennen das ueberpruefen. Ueberleg Dir ein offenes Intervall, das die 0 enthalet, also zb ]l,r[ . Damit die 0 drin ist, muss l negativ und r positiv sein. Offenbar liegen nur die a_n fuer die n<1/r ist, nicht in dem Intervall, alle anderen liegen drin, also haben wir tatsaechlich nur endlich viele Ausnahmen, egal welches Intervall wir nehmen.

Das zweite Beispiel, a_n = 1, hat auch einen Grenzwert, naemlich natuerlich die eins. Ein offenes Intervall, das die 1 enthaelt, enthaelt auch alle Folgenglieder, es gibt also ueberhaupt keine Ausnahmen.

An den beiden Beispielen sehen wir auch, dass es volkommen egal ist, ob der Grenzwert selber in der Folge vorkommt.

Bei der Definition ist es aber wesentlich, dass wir nur offfene Intervalle zulassen. Sonst koennten wir fuer die 1/n Folge das geschlossene Interval [0, 0] nehmen, dieses enthaelt zwar die Null, aber kein einziges Folgenglied, damit liegen alle, also unendlich viele Folgenglieder nicht im Intervall. Ueberlege Dir selbst, welche Folgen konvergieren wuerden, wenn wir geschlossene Invervalle nehmen wuerden.

Das Beispiel mit den Dezimalstellen von pi ist auch konvergent und hat den Grenzwert pi.

Du kannst Dir auch leicht ueberlegen, dass eine Folge nicht mehrere Zahlen als Grenzwert haben kann: Haette sie zwei verschidene Grenzwerte, koenntest Du zwei offene Intervalle I1 und I2 benutzen, die jeweils nur einen der beiden Grenzwerte enthalten und deren Schnitt leer ist (gegebenfalls musst Du sie entsprechend verkleinern). Dann muessen alle bis auf endlich viele der Folgenglieder in I1 enthalten sein. Daraus folgt aber, dass unendlich viele Folgenglieder nicht in I2 sind. Also gibt es einen Widerspruch zu der Annahme, dass ein ein Grenzwert in I2 ist.

Die fuenfte Folge, die abwechselnd 1 und -1 ist, ist hingegen nicht konvergent, sie hat keinen Grenzwert: Als Grenzwert kaemen sowieso nur 1 und -1 in Frage. Schauen wir uns also das offene Intervall

] 1/2 , 1 1/2 [

an. Dann liegen da zwar unendlich viele Folgenglieder drin (naemlich jedes zweite), aber es liegen auch unenedlich viele Folgenglieder nich drin, naemlich die restlichen. Also kann 1 kein Grenzwert sein, denn es gibt ein offenes Intervall, das 1 enthaelt, aber unendlich viele Folgenglieder nicht.

Bleibt noch die erste Folge a_n = n. Wenn wir als Grenzwert nur 'normale' Zahlen zulassen, dann hat die Folge keinen Grenzwert, da die Folgenglieder aus jedem endlichen offenen Intervall herauslaufen. Wir koennen aber auch "unendlich" als Grenzwert zulassen, wenn wir es als Obergrenze fuer offene Intervalle erlauben. So soll etwa

] l, unendlich [

die Menge aller Zahlen, die groesser als l sind sein. Nun koennten wir definieren, dass eine Folge gegen unendlich konvergiert, wenn in allen solchen Intervallen bis auf endlich viele Ausnahmen alle Folgenglieder drin liegen. In diesem Sinn konvergiert die erste Folge dann gegen unendlich. Auf aehnlich weise kann man dann auch definieren, was es heissen soll, dass eine Folge gegen minus unendlich konvergiert.

Wenn ich das urspruengliche Beispiel von Lukas richtig verstanden habe, war da der Witz, dass seine Folge abwechselnd positive und negative Zahlen haben sollte, die im Betrag immer groesser werden. Diese Folge konvergiert dann aber weder gegen unendlich noch minus unendlich aus dem gleichen Grund, wie die 1, -1, 1, Folge nicht gegen 1 oder -1 konvergiert.

Soweit zum Grenzwert und Konvergenz. Das Beispiel mit 1, -1,... suggeriert aber noch die Definition eines aehnlichen Begriffs, der aber in einem gewissen Sinn schwaecher ist: des Haeufungspunkts. Eine Zahl a ist ein Hauefungspunkt einer Folge, wenn in jedem offenen Interval, egal wie klein, das a enthaelt, auch unendlich viele Folgenglieder drin sind. Hier wird aber nichts darueber gesagt, wieviele Folgenglieder nicht drin sein duerfen.

Du ueberlegst Dir schnell, dass einen Folge, die einen Grenzwert a, auch a als Haeufungspunkt hat (und keinen weiteren). Die Folge mit den 1ern und -1ern hat zwei Haeufungspunkte, naemlich 1 und -1. Im Gegensatz zum Grenzwert kann eine Folge also mehrere Haeufungspunkte haben.

Die Folge 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, 1, 2, 3, 4, 5, etc hat zB fuenf Haeufungspunkte, die Folge

1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4, 1, 2, 3, 4, 5, etc

hat alle natuerlichen Zahlen als Haufungspunkt. Mit einem kleinen Trick ('Cantorsches Diagonalverfahren') kann man sich auch eine Folge ueberlegen, die alle rationalen oder sogar alle reellen Zahlen als Haeufungspunkt hat.

Von besonderem Interesse sind manchmal noch der groesste und der kleinste Haeufungspunkt einer Folge, Limes Superior und Limes Inferior genannt. Es ist eine Eigenschaft der reellen Zahlen, dass jede Folge von reellen Zahlen mindestens einen Haeufingspunkt hat (wenn man auch minus unendlich und unendlich als Haeufungspunkte zulaesst). Dieser Satz ist unter dem Namen "Satz von Bolzano Weierstrass" bekannt (siehe Wikipedia). Fuer die rationalen Zahlen stimmt er nicht (eines der obigen Beispiele fuer Folgen ist ein Gegenbeispiel, welches?)

Unsere Feststellung von oben kann man aber auch umkehren: Wenn eine Folge (im reellen) nur einen Haufungspunkt hat, der groesste also gleich dem kleinsten Haeufungspunkt ist, ist dieser automatisch auch schon Grenzwert der Folge und die Folge ist konvergent. Kannst Du das selber beweisen?

Soweit mein kleiner Crash-Kurs zum Thema Konvergenz von Folgen.